引言

数值积分在科学计算和工程应用中起着重要作用。数值积分方法用于求解解析解难以获得或不存在的定积分。本文将介绍几种常见的数值积分方法，并展示如何在Fortran中实现这些方法。

示例1: 矩形法

矩形法是一种简单的数值积分方法，通过将积分区间分成若干个矩形并累加其面积来近似积分值。

fortran

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program rectangle_rule

implicit none

real :: a, b, h, integral

integer :: n, i

! 初始化积分区间和分割数

a = 0.0

b = 1.0

n = 100

h = (b - a) / n

! 矩形法积分

integral = 0.0

do i = 0, n-1

henan.tgoi.cn/YbnmPp/

anhui.tgoi.cn/BOQBWy/

hefei.tgoi.cn/xXHo6K/

nanjing.tgoi.cn/Hk41EI/

zhengzhou.tgoi.cn/EXac5t/

chongqing.tgoi.cn/TYpZUT/

hangzhou.tgoi.cn/q3BSv4/

zhejiang.tgoi.cn/g19esC/

integral = integral + f(a + i * h) * h

end do

! 打印结果

print *, 'Integral value using Rectangle Rule:', integral

contains

! 被积分函数

real function f(x)

real, intent(in) :: x

f = x**2

end function f

end program rectangle_rule

代码解释

初始化积分区间和分割数: 设置积分区间 [a, b] 和分割数 n。矩形法积分: 通过累加各矩形的面积来近似积分值。被积分函数: 定义被积分函数 f(x)，这里以 x^2 为例。

示例2: 梯形法

梯形法是一种改进的数值积分方法，通过将积分区间分成若干个梯形并累加其面积来近似积分值。

fortran

复制代码

program trapezoidal_rule

implicit none

real :: a, b, h, integral

integer :: n, i

! 初始化积分区间和分割数

a = 0.0

b = 1.0

n = 100

h = (b - a) / n

! 梯形法积分

integral = 0.5 * (f(a) + f(b))

do i = 1, n-1

integral = integral + f(a + i * h)

end do

integral = integral * h

! 打印结果

print *, 'Integral value using Trapezoidal Rule:', integral

contains

! 被积分函数

real function f(x)

real, intent(in) :: x

f = x**2

end function f

end program trapezoidal_rule

代码解释

初始化积分区间和分割数: 设置积分区间 [a, b] 和分割数 n。梯形法积分: 通过累加各梯形的面积来近似积分值。被积分函数: 定义被积分函数 f(x)，这里以 x^2 为例。

示例3: Simpson法

Simpson法是一种更高效的数值积分方法，通过使用抛物线来近似积分区间内的曲线。

fortran

复制代码

program simpson_rule

implicit none

real :: a, b, h, integral

integer :: n, i

! 初始化积分区间和分割数

a = 0.0

b = 1.0

n = 100

if (mod(n, 2) /= 0) n = n + 1 ! n必须为偶数

h = (b - a) / n

! Simpson法积分

integral = f(a) + f(b)

do i = 1, n-1, 2

integral = integral + 4.0 * f(a + i * h)

end do

do i = 2, n-2, 2

integral = integral + 2.0 * f(a + i * h)

end do

integral = integral * h / 3.0

! 打印结果

print *, 'Integral value using Simpson''s Rule:', integral

contains

! 被积分函数

real function f(x)

real, intent(in) :: x

f = x**2

end function f

end program simpson_rule

代码解释

初始化积分区间和分割数: 设置积分区间 [a, b] 和分割数 n，并确保 n 为偶数。Simpson法积分: 通过使用抛物线近似积分区间内的曲线来求积分值。被积分函数: 定义被积分函数 f(x)，这里以 x^2 为例。

示例4: 使用Fortran标准库求解数值积分

Fortran标准库中提供了一些现成的求解数值积分的子程序，例如 quadpack。以下代码展示如何使用Fortran标准库求解数值积分。

fortran

复制代码

program quadpack_example

use, intrinsic :: iso_c_binding

implicit none

real(c_double) :: a, b, epsabs, epsrel, result, abserr

integer(c_int) :: neval, ier

! 初始化积分区间和误差要求

a = 0.0_c_double

b = 1.0_c_double

epsabs = 1.0e-6_c_double

epsrel = 1.0e-6_c_double

! 调用quadpack求积分

call dqags(f, a, b, epsabs, epsrel, result, abserr, neval, ier)

! 打印结果

print *, 'Integral value using QUADPACK:', result

print *, 'Estimated absolute error:', abserr

print *, 'Number of function evaluations:', neval

print *, 'Error code:', ier

contains

! 被积分函数

real(c_double) function f(x)

real(c_double), intent(in) :: x

f = x**2

end function f

! 外部声明quadpack例程

interface

subroutine dqags(f, a, b, epsabs, epsrel, result, abserr, neval, ier) &

bind(c, name='dqags')

import :: c_double, c_int

real(c_double), intent(in) :: a, b, epsabs, epsrel

real(c_double), intent(out) :: result, abserr

integer(c_int), intent(out) :: neval, ier

real(c_double) :: f

end subroutine dqags

end interface

end program quadpack_example

代码解释

初始化积分区间和误差要求: 设置积分区间 [a, b] 和绝对误差 epsabs 及相对误差 epsrel。调用quadpack例程: 使用 dqags 子程序计算积分值。打印结果: 打印积分值 result、估计的绝对误差 abserr、函数评估次数 neval 和误差代码 ier。被积分函数: 定义被积分函数 f(x)。

结论

通过上述示例，可以看到在Fortran中进行数值积分是非常方便和高效的。Fortran不仅提供了基本的数值积分方法，还可以通过调用QUADPACK等高效的数值库来处理复杂的积分计算。这些数值积分方法在实际应用中可以帮助我们解决许多解析解难以获得的问题。

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