巴哈马的海风拂过伯克利的数学圈，一位未曾踏入高中的少女用一道家庭作业，凿开了禁锢数学界40年的思想坚冰。

2025年2月，一篇发布在arXiv上的预印本论文震惊了整个数学界。论文的作者名叫汉娜·凯罗（Hannah Cairo），来自于在学术界籍籍无名的加勒比岛国巴哈马。更令人震惊的是，她是一位年仅17岁的美少女。

就是这位天才少女，在她的论文中破解了已经困扰数学界长达40年之久的难题——“沟畑-竹内猜想”（Mizohata-Takeuchi Conjecture）。

Valerie Plesch/Quanta Magazine

学术荒漠走出的数学天才

汉娜·凯罗的成长轨迹绝对是对传统教育的一次挑战。她在巴哈马——一个以旅游业闻名的加勒比海岛国，但在学术和教育领域无疑堪称荒漠——首都拿骚长大，有一个比她大三岁的哥哥，还有一个小弟弟。她与她的两位兄弟在小的时候从未踏入过学校大门，家庭教育成为他们最初的知识摇篮。她的父亲是一位软件工程师，在这方面提供了技术支持，让汉娜得以通过可汗学院的在线课程学习数学，并在11岁的时候就掌握了微积分。

惊人的学习进度意味着适配她的在线教育资源越来越少。为了让她能继续接触更专业、高深的数学，父母为她聘请了韦尔斯利学院的Martin Magid与克拉克大学的Amir Aazami教授进行远程辅导。然而辅导很快沦为形式——“他感觉收学费有些不好意思，因为大多数时候都是我自己读完书，然后尝试证明定理”，汉娜回忆道。这种自我驱动的学习模式帮助她在14岁时完成了大学本科数学的教育，她掌握的范畴理论、代数拓扑等内容相当于数学专业高年级课程的水平。

数学的高深对她来说从来不是障碍，但常年在家通过网络进行学习带来的孤独感成为困扰汉娜的一大问题。“日复一日的单调让我感到与世隔绝，醒来只觉得自己又老了一岁，却没有其他任何变化”，她如是回顾。而在与孤独感对抗的过程中，数学成为她唯一的武器。对汉娜来说，“它（数学）是一个没有边界的世界，只要思考便能随时进入”，她把数学当作一个可以无限探索的世界，可以在其中恣意妄为——这也使得她逐渐对数学产生出许多与常人不一样的看法。

汉娜数学生涯的转变发生在2021年。当时，新冠疫情将他们全家困在芝加哥的祖父母家中。这一无奈的安排却意外将她推入了“芝加哥数学圈”——一个面向青少年、通过师生协作解决难题的社群。这个社群最大的特点就是没有标准答案的竞赛，只有想法和思路的碰撞与延展。汉娜在这里找到了“组织”，摆脱了孤独，逐渐有了归属感。

得益于此，次年，14岁的汉娜又成功申请上了伯克利数学圈的暑期课程——这意味着她已经被视为全球潜在的最顶尖数学人才候选人。与其他申请者不同的是，她的申请文件主要是她自己列举的自学完成的一系列数学课程。该机构创始人Zvezdelina Stankova惊叹道，她的实力已远远领先同龄人数个层级。

有意思的是，这位少女始终对外界给予她的“天才”标签保持很高的警惕：“成长中我不清楚自己是否真有天赋。钢琴水平或许在平均之上，但数学？也就那么回事吧。”

家庭作业引发的数学革命

2024年秋，伯克利数学系研究生课程“傅里叶限制性理论”迎来一位特殊的旁听生。当汉娜发送邮件申请时，授课人助理教授张瑞祥——曾于2008年获国际奥数金牌的中国数学家，韦东奕队友——受到“她的专注与热情”的感染欣然同意了她的加入。谁也未料到，这个决定将对调和分析领域产生巨大的影响。

几周后，张瑞祥在作业中埋下一颗种子：一道简化版的沟畑-竹内猜想练习题，外加拓展版作为选做题。该猜想诞生于1980年代，探讨“波能量在弯曲曲面上的分布规律”。如同在奇特房间演奏音乐，声波在某些位置异常放大，数学家们试图证明这种放大必然沿特定直线发生。

40年来，学界分裂为两派。正如爱丁堡大学Tony Carbery教授说的那样：“有些早晨我相信它必然为真，因其表述优雅；另一些早晨又觉它不可能成立。”当汉娜开始探索完整猜想时，张瑞祥最初持怀疑态度。“我带着想法去和他讨论，他总是说‘不行’”，她回忆道。连续数周的否定并未浇灭她对这一问题的热情，在多次尝试证明未果后，她的思路反而打开了，并转向全新路径：通过构造反例来证否。

数月间，她尝试了数十种方案均告失败。最终，分形理论与波干涉原理的结合催生了关键突破：她构建出一个函数，其中波的能量未如猜想预言般沿直线集中，反而以分形形态扩散，形成“本不该存在”的数学结构。更精妙的是，她随后将复杂构造简化为清晰模型，彻底说服了张瑞祥。

2025年2月10日，论文登陆arXiv（编号2502.06137），引发数学界地震。Carbery教授评价“她的解法完全震撼了我”。而另一位长期研究该问题的来自伯明翰大学的Itamar Oliveira坦言：“我敢保证，从今往后，当我们遇到类似问题时，都会尝试用‘类凯罗’的构造来检验它。”论文还带来了连锁反应：它还同时证伪了关联的“斯坦（Stein）猜想”，切断了调和分析不同部分之间一条关键逻辑链。

对传统教育模式的启示

一战成名的汉娜决定跳过本科直接攻读博士。她一共申请了10所院校，其中6所学校因她缺少“必要的”学位而直接拒绝了她；另2所一开始给了录取通知，最终却还是被校方高层推翻；仅马里兰大学与约翰·霍普金斯大学对她敞开了大门。

汉娜最终选择了马里兰大学，并将继续师从张瑞祥，深耕傅里叶限制理论，并计划组建自己的团队。当她博士毕业的时候，她将会得到此生第一个学位。

汉娜的成功无疑是对传统数学教育有效性的一次挑战。她自学成才的经历也为我们的教育思路提供了许多值得借鉴的启示，最主要的自然是对传统教学方式的启发。

互联网时代下，开放资源与自主学习带来了全新的机会和可能性。身处岛国的汉娜在年仅11岁的时候，便可通过可汗学院的课程掌握微积分，并在随后几年内，主要依靠在线资源独立掌握本科高阶课程。

这样的案例说明了：第一，传统的线下课堂式“教-学”模式是完全可以被互联网方式所取代的，甚至，跟后者相比，传统方式似乎更加低效。第二，固定教材和进度的学习方式在一定程度上限制了天才的成长，试想，如果汉娜生活在某个教育发达的地区，跟同龄人一样按部就班地上学，她绝不可能达到今日的高度。第三，是在线资源的丰富性，使得传统的地理限制不再是教育的障碍，生活在巴哈马的孩子依然可以获得最顶尖的教育资源。

这促使人们反思。在这个时代，我们应当试图构建以个体为本的教育方式，利用互联网时代的广泛资源为每个人提供量身定制的学习路径，而非继续维持数十年不变的传统课堂教学模式，并在“淘汰制”的升学竞争中消耗受教育者的学习热情。

我们正处于颠覆式教育革命的前夜。如果不把握住这一机会，恐怕会付出极大的代价。