亨利·庞加莱

物理学家必须要首先成为几何学家。
——大卫·希尔伯特

几何图形是绘画必不可少的。
——阿波利奈尔

撰文｜蔡天新

01 第四维与现代艺术

19世纪前半叶是从古典进入到现代的关键时期，走在最前列的依然是生性敏感的诗人和数学家，爱伦·坡和波德莱尔的相继出现，非欧几何学和非交换代数的接连问世，标志着以亚里士多德的《诗学》和欧几里得的《原本》为准则的延续了两千多年的古典时代的终结。进入到那个世纪的后半叶以后，更加速了产生天才人物的步伐，在1880年前后不到两年的时间里，科学巨匠爱因斯坦和艺术大师毕加索分别在德国南方和西班牙南方两个偏远的小镇乌尔姆和马拉加出世，这两个生命的诞生为技术主义泛滥的二十世纪增添了迷人的光彩。

毕加索的《梦》（1932）

毫无疑问，爱因斯坦和毕加索这两位激励了好几代科学家和艺术家的天才人物，是我们这个时代遥不可及的偶像。阿瑟·I·米勒博士（《爱因斯坦·毕加索》作者）甚至断言，现代科学就是爱因斯坦，现代艺术就是毕加索。在这部奇特的著作里，作者分析了上述两位天才的案例，他们各自的生活经验、工作经历和创造性中的相似性，尤其是在上个世纪的头一个十五年，也即他们二十岁到三十五岁（最具创造力的）那段时期，不仅为我们揭示了他们思考方式的共同点，也让我们窥见了艺术创造和科学发现的本质。

年轻时的爱因斯坦

当人们仍在激烈地辩论非欧几何学以及违反欧几里德第五公设的哲学后果时，法国数学家亨利·庞加莱是这样教我们想象四维世界的，“外在物体的形象被描绘在视网膜上，这个视网膜是一个二维画；这些形象是一副透视图……”按照他的解释，既然二维面的一个景象是从三维面而来的投影，那么三维面上的一个形象也可以看成是从四维而来的投影。庞加莱建议，可以将第四维描述成画布上接连出现的不同透视图。依照毕加索的视觉天赋，他认为这不同的透视图应该在时间同时性里展示出来，于是就有了《阿维尼翁少女》——立体主义的开山之作（阿维尼翁是法国南方靠近马赛的一座小镇，离开凡·高的圣地阿尔只有十几公里远）。

庞加莱被认为是通晓全部数学与应用数学知识的最后一个人，他涉足的研究领域惊人地广泛，并不断使之丰富。他还是数学的天才普及者，其平装本的通俗读本被人们争相抢购，并被译成多种文字，在不同的国度和阶层传播，就如同后来的理论物理学家、《时间简史》的作者斯蒂芬·霍金那样。在庞加莱著作《科学与假设》（1902）的众多读者里头，有一位叫普兰斯的巴黎保险精算师，在立体主义诞生前夕，他与比他年轻六岁的毕加索共有一位情妇，正是这位水性杨花的女人把普兰斯介绍给了毕加索，于是毕加索和他的“洗衣舫”艺术家圈子才有机会聆听非正式的几何学讲座。

毕加索的巴黎洗衣舫

《阿维尼翁少女》的命名人、诗人安德烈·萨尔蒙后来在《巴黎日报》的专栏文章里称赞普兰斯是“立体主义的数学家”，并在1907年夏天（《阿维尼翁少女》创作期）这个关键时刻做出了特殊的贡献。他写道，“在蒙马尔特的那间旧画室里进行的激烈的辩论和探讨，立体主义就是在那里诞生的。”这些相互启发的讨论的参与者里既有画家，也有诗人。诗人们“只不过提供了一些有意味的语汇，这对理解新生事物十分必要。还有一个神秘的数学家，他给朋友们提供了经过推理的准确性。”不管毕加索本人是否承认，几何学成为他“充满热情地探索着的”新艺术语言。

其实，萨尔蒙的描述多少有些夸张。在毕加索的艺术家圈子里，最重要的要数诗人阿波利奈尔，他同时也是小说家、演出经纪人、美食品尝家、藏书家、色情文学的支持者，并被后人尊称为立体主义绘画的解释人。在巴黎的一次秋季沙龙开幕式上，阿波利奈尔发表了关于第四维和现代艺术的演讲。在他眼里，第四维并不是一个数学概念（他恐怕理解不了欧氏几何和非欧几何的区别），而是一个隐喻，它包含着新美学的种子。阿波利奈尔把立体主义与科学革命相提并论，认为“立体主义用一个无限的宇宙取代了一个以人为中心的有限宇宙”；“几何图形是绘画必不可少的，几何学对于造型艺术就如同语法对写作艺术一样重要。”必须指出，普兰斯也是那次沙龙的组委会成员，显而易见，阿波利奈尔把他引进的几何学加以发挥了。如同文艺复兴时期的艺术家创立透视法和没影点（vanishing point）这两种几何方法获得了第三维，立体主义画家也拥抱了第四维。

邮票上的阿波利奈尔

02 第四维与相对论

至于第四维与爱因斯坦相对论的关系，那是有目共睹的。庞加莱于1898年发表的一篇论文探讨了如何“在一个以时间为第四维的四维空间里建立一种数学表述”，其重要性立刻被爱因斯坦在瑞士联邦工业大学的数学老师闵可夫斯基捕捉到了，并适时传递给了学生，尽管数学家本人对这个经常逃学的留小胡子的青年毫无印象。1904年，即发现狭义相对论的前一年，爱因斯坦读到《科学与假设》的德文译本，立刻被书中席卷数学、科学和哲学的气势所感动，从中了解了几何学的基础。可是，直到1912年（庞加莱于该年去世，此时闵可夫斯基已过世三年），爱因斯坦才恍然领悟到，狭义相对论只有在高度几何化后才能完全广义化。而在广义相对论发表后的第二年，即1916年，德国数学家希尔伯特发出了这样的感叹：“物理学家必须要首先成为几何学家。”

爱因斯坦的老师闵可夫斯基

虽然爱因斯坦的相对论诞生已经一个世纪了，人们对它的理解仍十分肤浅，只知道根据这一理论，时间是相对的，空间是弯曲的，光并不是沿着直线传播的；物质和能量的分布决定着时空的弯曲，这种时空弯曲等同于万有引力。这里我想引用一位物理学家举的例子，“让我们设想有两只飞船。飞船X以每秒10万公里的速度飞离地球。飞船上的观测者和地球上的观测者同时对这一速度进行测量，他们得到的结果是一致的。假设飞船Y以与飞船X相同的方向运行，地球上的观测者测量它的速度是每秒18万公里，爱因斯坦预言，如果两只飞船上的观测者来测量它们之间分离的速度时，会是每秒10万公里而非8万公里。”

这个结果表面上看起来十分荒谬，但可以用爱因斯坦发现的质能转换公式来推导，也即一个质量为M的物质的能量E等于该质量M和光速c（每秒18.6万英里）的平方的乘积，这个公式为爱因斯坦赢得了持久的声誉，“政治是暂时的，而方程式是永恒的”，同时c平方这个庞大的数字也可以解释投放在广岛和长崎的那两颗原子弹的威力。不过，那两次爆炸使得爱因斯坦痛心不已，正是他在1939年致函美国总统罗斯福，指出研制原子能的必要性，并强调美国抢在德国之前发展这一武器的重要性，这封信促进了直接导致第一颗原子弹的“曼哈顿计划”的开展。

如果上述例子仍不足以解释相对论，还有一种办法可以帮助我们理解，那就是试图理解更难的非欧几何学。直到十八世纪末十九世纪初，几何领域仍然是欧几里得一统天下，笛卡尔的解析几何只是改变了几何研究的方法，并使牛顿和莱布尼兹发明的微积分学表述得更加清晰，却没有从本质上改变欧氏几何本身的内容。欧氏几何赖以存在的前提中有这么一条不那么自明的假设，即“过直线外一点能且只能作一条直线与已知直线平行”，也就是所谓的“第五公设”。这个暧昧的假设引起了数学家的广泛关注，其中大多数人试图证明它，也有的沿着不同的方向，即试图给出相反的假设。

俄国人罗巴切夫斯基就是一个叛逆性的人物，1826年，他在偏远的喀山（那里离哈萨克斯坦比离莫斯科更近一些）大学发表了非欧几何学的第一篇论文，正是在假定“过直线外一点可以引至少两条直线与已知直线平行”的基础上。可是，由于语言的隔膜和交通的不便，这项成果将近十年以后才传递到西欧，几乎就被匈牙利数学家鲍耶抢了先，而高斯只是记录在笔记本上。1854年，德国数学家黎曼发展了罗氏理论而建立起更广泛的非欧几何学，他引进了流形曲率的概念，在三维常曲率空间里有三种情况，即曲率为正常数，零或负常数。后面两种情形分别对应于欧氏几何和罗巴切夫斯基几何，而第一种几何是黎曼本人的创造，它意味着“过直线外一点不能引任何直线与已知直线平行”。

至此，有关非欧几何学的含义就变得比较明晰了，多年以后，庞加莱等人又先后在欧氏空间中给出非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。无论是欧氏几何还是非欧几何，都存在任意有限维的甚至无限维的空间，庞加莱为物理学家提供了那个以时间为第四维的四维空间，可以看作是非欧几何学的一个特例。闵可夫斯基进一步指出，在这个四维度量空间的长度计算公式里，第四维时间t的平方前面需要加一个负号。这个公式是如此美妙，爱因斯坦的一位同事、物理学家马克斯·玻恩这样感叹，“从那以后，所有的理论物理学家每天都在使用它。”总之，在广义相对论里，空间和时间变成了一种四维结构，只不过这个四维结构的形状被其中的大质量物体扭曲了。这样一来，宇宙就由一块刚性的铁板变成了一个弹性的垫子。

03 是征服者，非殖民者

1854年，即黎曼拓展非欧几何学的那一年，庞加莱出生在法国东北部名城南锡的一个显赫家族，他的父亲是一位著名的医生，他的一位堂弟在第一次世界大战期间曾出任法兰西第三共和国总统，另一位堂弟曾任大众教育和美术部长。庞加莱的超常智力不仅使他接受知识极为迅速，同时拥有一副流利的口才，并从小得到才华出众的母亲的教导，却不幸在五岁时患上白喉症，从此变得体弱多病，不能顺利地用口语表达思想。但他依然喜欢各种游戏，尤其是跳舞，他读书的速度也十分惊人，且能准确持久地记住读过的内容。小庞加莱擅长的科目包括文学、历史、地理、自然史和博物学，他对数学的兴趣来得比较晚，大约开始于15岁，不过很快显露出非凡的才华。

19岁那年，庞加莱第二次赢得全法国中学生数学竞赛一等奖，被保送到巴黎的综合工科学院，从此离开了自己的故乡。虽然庞加莱从未在南锡念过大学，但那里的最高学府——南锡第一大学（建于1572年）却以他的名字命名。中国数学家华罗庚获得的第一个学位便是这所大学授予的荣誉博士学位，那是在二十世纪七十年代末。2002年春天，笔者有幸在亨利·庞加莱大学访问了三个月，不仅了解到庞加莱的父亲曾是这所大学医学院的教授，也对南锡这座绿草如茵的小城留下美好的记忆，十二世纪以来她就是洛林王朝的都城（2012年，南锡一大与其他三校合并易名为洛林大学）。庞加莱从综合理工学院毕业后进入高等矿冶学院，几年后获得采矿工程师的资格，可是他却醉心于数学，继续攻读科学博士学位，再后来，他成了巴黎大学数学和天文学的终生教授，并在母校综合理工学院拥有类似的职位。

亨利·庞加莱大学

庞加莱从未在一个研究领域作过久的逗留，一位同僚戏称他是“征服者，而不是殖民者”。即使在数学和相对论以外，他的贡献也难以胜数：光学、电学、电报、弹性力学、热力学、量子论、势论、毛细现象、宇宙起源，等等。从某种意义上讲，整个数学都是庞加莱的领域，但他对拓扑学的贡献无疑最为重要。1904年，诞生了著名的庞加莱猜想：任意三维的单连通闭流形必与球面同胚。将近一个世纪以后，这个猜想才被俄国数学家佩雷尔曼证明。之前，它已经被悬赏一百万美金。有意思的是，这个猜想在大于或等于五维和四维上的推广，先后被两位美国数学家攻克，因此获得了两枚菲尔兹奖章（1966、1986）。可是，佩雷尔曼却谢绝了第三枚菲尔兹奖（2006）以及其他任何荣誉。

庞加莱猜想的证明者佩雷尔曼

庞加莱的哲学著作除了《科学与假设》以外，具有重大影响的还有《科学的价值》《科学方法论》。他是唯心主义的约定论哲学的代表人物，认为公理可以在一切可能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛盾。同时，他反对无穷集合的概念，反对把自然数归结为集合论，认为数学最基本的直观是自然数，这使他成为直觉主义的先驱者之一。正是由于这些成就的取得才使庞加莱既当选为法兰西科学院的院士（后成为院长），又当选为法兰西学院的院士，他同时处身于科学和人文两座金字塔的塔尖。庞加莱相信艺术家和科学家之间创造力的共性，相信“只有通过科学与艺术，文明才体现出价值”。

庞加莱给世人的印象是，留着胡子，戴着金丝眼镜，神态庄重。从气质上讲，我认为他与稍后的同胞画家马蒂斯、作曲家德彪西比较接近，他对哲学、文化领域的关注和贡献则延续了帕斯卡尔、笛卡尔这些前辈同行的传统。庞加莱被认为是一位法语散文大师，其哲学著作在各界人士中拥有广泛的读者。同样以文字见长的诺贝尔文学奖得主、长期引领英伦学术界和思想界的哲学家伯特兰·罗素也曾经谈到，庞加莱是二十世纪初法兰西最伟大的人物。当他在巴黎初次拜访这位数学奇才时，“舌头一下子失去了功能，直到费了一些时间（大约两、三分钟），仔细端详和承受可谓他思想的外部形式的面貌和神采时，我才发现自己能够说话了。”

英国哲学家罗素

可是，每个人都有他的时代局限性，虽然庞加莱对相对论做出了不可磨灭的贡献（相对性 relativity这个词是由他发明的），但直到去世他都没有完全接受狭义相对论，这也是让爱因斯坦永远感到遗憾的一件事。事实上，庞加莱和荷兰物理学家洛伦兹都曾无限接近，分别是从哲学和数学的角度。用后辈物理学家杨振宁的话说，爱因斯坦对于时空有着更为自由的眼光。正如英国数学家兼哲学家怀特海所言，“非常接近真理和真正懂得它的意义是两回事。每一个重要的理论都在它发现之前被人说过。”

1911年万圣节，也是庞加莱生命中的最后一个冬天，他和爱因斯坦在布鲁塞尔举行的一次光学会议上首次得以相见。虽然庞加莱没有明说，但爱因斯坦敏感地意识到了。他非常失望地告诉友人，“庞加莱（对相对论）基本上持否定态度。”尽管意见不一致，但会议一结束，庞加莱就应爱因斯坦的请求给后者的母校——瑞士联邦工业大学写了一封推荐信，“爱因斯坦先生是我所见过的最具创新精神的思想家之一……”次年夏天，庞加莱穿衣时脑血栓梗塞逝世于巴黎，年仅58岁，爱因斯坦则返回苏黎世做上了教授。

庞加莱家族墓碑，巴黎蒙巴纳斯

2004年2月，杭州

2015年2月，修改

（本文选自作者随笔集《数学传奇》，商务印书馆，2016年，英文版今年秋天由Springer出版，另有俄文版、繁体字版，德文版将于2026年面世。）