新智元报道

编辑：桃子 定慧

历经30年，九位天才数学家终于攻克了「几何朗兰兹猜想」！五篇近千页重磅论文，彻底为这一猜想画上句号，更为未来数学研究打开了一扇全新的大门。令人振奋的是，清华学者陈麟也是论文的重要作者。

耗时30年，近1000页论文，终于攻克了「几何朗兰兹猜想」！

朗兰兹纲领，又被称为「大一统理论」，困扰了数学家多半个世纪，至今仍是一个未解之谜。

如今，来自普朗克数学研究所Dennis Gaitsgory和耶鲁大学Sam Raskin领衔九人团队，在五篇论文中，完成了证明其中一个分支的壮举。

他们的成果不仅解决了这一难题，还为数学界开辟了全新的探索领域。

Dennis Gaitsgory和Sam Raskin

值得一提的是，九位天才数学家中，其中一位还是来自清华丘成桐数学科学中心的助理教授陈麟。

半世纪难题，数学「圣杯」或被摘下

1967年，「朗兰兹纲领」（Langlands Program）正式被提出。

当时，30岁的普林斯顿大学教授Robert Langlands在给André Weil一封长达17页的亲笔信中，首次阐述了自己的设想。

信中，Langlands表示，在「罗塞塔石碑」所对应的数论和函数域中，或许可能创建出一个傅里叶分析的推广理论。

「朗兰兹纲领」也被誉为数学界的「罗塞塔石碑」，试图统一数论、函数域、几何三大领域

Langlands的目标是，将数学中两个截然不同的分支：数论（研究整数）和调和分析（研究复杂信号如何分解成简单波）连接起来。

通过「朗兰兹纲领」，许多传统数论中的难题，可以转化为表示论等其他领域的问题，借助新视角和工具得以解决。

值得一提的是，1995年Andrew Wiles证明的「费马大定理」，便借鉴了「朗兰兹纲领」的核心思想。

当n大于2时，不存在正整数a、b、c满足an+bn=cn

除了在数学上的应用，这一纲领还被广泛应用在物理学等学科上，比如量子场论。

可以看出，Langlands当时仅提出了两大领域，直到1980年代，Vladimir Drinfeld首次提出了「几何朗兰兹猜想」。

与数论形式一样，几何也建立在某种联系上：暗示两类不同的数学对象之间存在对应关系。

它们三者都与「黎曼曲面」相关。

这是一维复流形，其坐标为复数，即实部和虚部的组合，这些流形可以是球体、甜甜圈，或带多个「洞」的椒盐卷形状。

数论猜想，是完全分离的「数学世界」，几何猜想所关联的两者差异较小。

那时，许多数学家猜测，几何朗兰兹猜想的证明，可能推动更难的数论的发展。

几何朗兰兹，连接「两个世界」

在几何中，「基本群」是其中的一方。一个黎曼曲面的基本群，描述了围绕该曲面可以打结的所有不同方式。

以甜甜圈为例，可以绕其外缘水平地打圈，也可以穿过洞口竖直地绕圈。

几何朗兰兹猜想研究的是，这种基本群的「表示」，即用矩阵（数字的网格）来表达其性质。

猜想的另一方，则涉及了特殊类型的「层」（sheaves）。

这是代数几何中的工具，用于为流形上的每个点分配一个「向量空间」，就像描述重力场的函数可以为3D空间中的每一点分配一个表示重力强度的数值一样。

「几何朗兰兹猜想」被提出之后，许多数学家早在在1990年代不断尝试，试图破解这一证明。

关于这一猜想的精确表述，更是到了本世纪才现身。

2012年，Dennis Gaitsgory联手Dima Arinkin，在150多页论文中进一步给出了准确表述。随后，Dennis又独立撰写了一份「几何朗兰兹猜想」证明的逐步提纲。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/1201.6343

直到最新一系列证明的出现，直接推动了「朗兰兹纲领」局部的研究。局部是指围绕「绕黎曼曲面」上某一点的环面区域内的对象性质。

五篇近千页论文，狂肝30年

从2023年起，Dennis Gaitsgory和Sam Raskin带队，联手其他7位合著者一个攻关。

最终，他们于2024年一共发表了五篇arXiv论文，长达千页。

地址：https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

这第一篇，主要聚焦于functor（函子）的构造，需要实现从自守形式到谱方向的转化。

通过构造几何朗兰兹函子LG并验证其范畴等价性，即在相关范畴间建立完全对应的映射关系。

这一关系的证实，将直接推导出「几何朗兰兹猜想」的正确性。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.03599

第二篇，深入研究了Kac-Moody局部与全局结构之间的相互作用，并在特定条件下，证明了所构造的函子是一个等价性函子，推动了猜想的证明。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.03648

第三篇不仅将已知的等价性结果，推广至更一般的情形，还借助Kac-Moody局部化技术，进一步揭示了几何朗兰兹函子和常数项函子之间的深刻联系。

同时，它在可约谱参数下，验证了猜想的兼容性，为最终攻克不可约谱参数铺路。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2409.07051

接下来这篇中，研究人员证明了Ambidexterity定理——揭示了左伴随和右伴随函子的同构性。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2409.08670

最后一篇论文，证明了唯一性定理，并将「几何朗兰兹猜想」推广至一般情况。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2409.09856

这一系列研究的完成，彻底为「几何朗兰兹猜想」画上了句号。

斩获数学大奖

这一成就的分量迅速得到数学界的认可。

Gaitsgory在接受《科学美国人》的德语姊妹刊物《科学光谱》的采访时透露。

1000页的证明，95%是我写的，当时我滑雪受伤了，只能躺在床上。

闲着也是闲着，我就一边和儿子看《星球大战》，一边写证明。

不愧是大佬，这样也行。

Raskin则获得了「新视野奖」（New Horizons Prize），该奖项专为有前途的早期职业数学家设立。

和许多数学重大成果一样，这项证明有望在不同领域之间架起桥梁，使一个领域的工具能用来攻克另一个领域的难题。

九人天团，清华陈麟在列

九人团队中，其中一位中国学者是陈麟。

他是清华大学丘成桐数学科学中心助理教授。

陈麟是真正的少年天才，12岁冲进CMO竞赛拿下满分，又在15岁进入国家队一举夺下了IMO金牌。

2016在北京大学取得学士学位，2021年博士毕业于哈佛大学，曾荣获哈佛2020-2021优秀奖学金。

陈麟有多传奇，可以从别人的「口中」感受一二。

在知乎有个问题，「中国真正一流的学生是什么样子」？一位名为杨世奇的答主是这么说的。

陈麟水平大概是北大老师会直接把他的卷子当做100来判，然后看其他学生得了他多少百分比分数来打分的存在（北大李教授亲述）。

他在几何朗兰兹纲领及几何表示论领域做出创新性的重要贡献，甚至有人2022年预测他能在2030年获得菲尔兹奖。

那会还没有消息说陈麟会参加几何朗兰兹的证明。

在陈麟的个人介绍主页中，可以看到对于几何朗兰兹的证明放在了最显眼的位置。

如果你对几何朗兰兹感兴趣，陈麟在2023年秋季还开设了这门课程。

感兴趣的小伙伴可以去学习一下。

让我们简单看下第一节介绍，感受一下数学的「魅力」。

参考资料：

https://www.nature.com/articles/d41586-025-02197-3