这项由华中科技大学的连世杰、吴长提，联合中关村研究院、华东师范大学、郑州大学和中关村人工智能研究院的研究团队完成的重要研究，发表于2025年2月的arXiv预印本平台（论文编号：arXiv:2509.24473v2），有兴趣深入了解的读者可以通过该编号查询完整论文。这项研究提出了一个令人惊喜的发现：通过让AI模型学习解决几何题目，竟然能够显著提升它们在各种空间理解任务上的表现。

空间智能一直是人工智能领域的一个重大挑战。就像人类需要具备空间感知能力来判断物体的大小、位置、方向一样，AI模型也需要这种能力来更好地理解和操作我们生活的三维世界。然而，目前最先进的多模态大语言模型在这方面仍然存在明显不足，经常在一些连小孩子都能轻松解决的空间问题上出错。

研究团队发现了一个巧妙的解决方案。他们意识到，欧几里得几何学实际上包含了空间的基本原理和规律。就像学习音乐理论能帮助人更好地理解和创作音乐一样，让AI模型学习几何知识，也能帮助它们掌握空间理解的基本技能。基于这个想法，研究团队构建了一个名为Euclid30K的大型几何问题数据集，包含约30000个平面和立体几何题目，然后用这些题目来训练AI模型。

令人惊喜的是，仅仅通过在这些几何问题上训练，AI模型在四个不同的空间智能测试基准上都获得了显著提升。其中，在VSI-Bench测试中，所有模型的平均准确率从34.5%提升到了40.5%，提高了5.5个百分点。更令人瞩目的是，经过几何训练的RoboBrain2.0-Euclid-7B模型达到了49.6%的准确率，超越了之前的最佳表现。

这项研究的核心洞察在于，几何学作为数学的一个分支，实际上是对空间规律的高度抽象和系统化总结。当AI模型学习解决几何问题时，它们实际上是在内化这些空间规律，包括形状识别、空间关系判断、多步逻辑推理等技能。这些技能恰好是处理各种空间智能任务所必需的。

一、几何学习：AI掌握空间智能的新路径

研究团队首先需要解决一个根本问题：为什么让AI学习几何能够提升它的空间理解能力？这个问题的答案隐藏在几何学的本质中。

几何学本质上是人类对空间规律的系统性总结。就像烹饪食谱记录了制作美食的基本原理一样，几何定理记录了空间世界的基本规律。当我们说两条平行线永不相交，或者三角形内角和等于180度时，我们实际上是在描述空间的基本属性。这些规律不仅适用于课本上的图形，也适用于现实世界中的所有物体和空间关系。

研究团队从数学理论的角度分析了这个问题。他们将几何问题求解看作源领域，将空间智能任务看作目标领域。通过域适应理论，他们证明了当两个领域之间的差异足够小时，在源领域上的学习就能有效地迁移到目标领域。几何学涵盖了广泛的空间规律——全等、相似、透视、平行、相交、位置关系等，这些概念在各种空间智能任务中都会反复出现。

这种迁移效果可以通过一个简单的类比来理解。假设你正在学习驾驶。如果你首先在驾校的模拟器上练习，学会了基本的转向、刹车、加速技能，那么当你真正上路时，这些基本技能就能帮助你应对各种实际交通情况。几何学习对AI的作用类似，它提供了处理空间问题的基本技能训练。

更重要的是，几何学习具有很强的系统性。与专门针对某个特定任务（比如物体计数或距离估算）的训练不同，几何学习涵盖了空间智能的多个方面。当AI模型学习解决一个复杂的立体几何问题时，它需要同时运用形状识别、空间关系推理、数值计算等多种技能。这种综合性训练比单一技能训练更能培养模型的通用空间智能。

从教育心理学的角度来看，这种方法也得到了支持。大量研究表明，几何问题求解与空间能力存在密切关联。那些在几何课上表现优秀的学生，通常在空间推理、心理旋转等测试中也表现出色。这种关联不是偶然的，而是因为几何学习本身就是在训练大脑的空间处理能力。

二、构建Euclid30K：打造AI的几何训练营

有了理论基础后，研究团队面临的下一个挑战是如何构建一个高质量的几何问题数据集。这个过程就像为AI设计一套完整的几何学习课程，需要涵盖从基础到高级的各种知识点。

研究团队首先调研了现有的几何数据集，发现了一个严重的不平衡问题。现有数据集中，平面几何问题约有20000个，而立体几何问题只有约7000个。这种不平衡会影响AI模型的学习效果，因为立体几何包含了更丰富的三维空间信息，这对培养空间智能至关重要。

为了解决这个问题，研究团队从多个开源数据集中筛选了高质量的几何问题，包括Geometry3K、MMK12、SolidGeo和WeMath2等。同时，他们还从商业化的K-12教科书和竞赛练习册中新收集了约4500个问题，重点补充立体几何部分的内容。这些新收集的问题涵盖了位置关系判断、动态或运动点问题、折叠展开问题，以及结合实际情境的几何应用题。

数据收集完成后，研究团队设计了一个三阶段的质量控制流程。首先是去重过滤。由于几何问题往往配有图像，即使文字描述相似，不同的图像也可能代表完全不同的问题。因此，他们使用基于图像的感知哈希技术来识别和过滤重复问题。

接下来是问题拆分。许多教材中的题目实际上包含多个子问题，比如"求三角形的周长和面积"这样的复合问题。研究团队使用GPT-4o API来自动识别和拆分这些复合问题，确保每个问题都是独立完整的。

最后是格式标准化。为了确保答案能够被自动验证系统正确识别，研究团队使用DeepSeek-V3.1 API将所有公式转换为标准的LaTeX格式。这样做的好处是，无论答案是"2πr"还是"(2r)π"这样的不同表达形式，系统都能识别出它们在数学上是等价的。

经过这三个阶段的处理，研究团队最终获得了29695个高质量的几何问题，构成了Euclid30K数据集。这个数据集的特点是覆盖面广，从初中到高中的整个几何课程体系都有涉及，包括平面几何推理、立体几何计算、经典定理应用等各个方面。

更重要的是，数据集中的问题类型多样化。有些是纯粹的数学表达式题目，需要计算具体的数值答案；有些是选择题，需要在多个选项中选择正确答案；还有些是开放性问题，需要用数学公式表达答案。这种多样性确保了AI模型能够学会处理各种不同形式的空间问题。

三、强化学习训练：让AI成为几何解题高手

有了高质量的数据集后，研究团队面临的下一个挑战是如何有效地训练AI模型。他们选择了GRPO（Group Relative Policy Optimization）这一强化学习方法，这就像为AI设计了一套智能化的几何学习系统。

传统的监督学习就像让学生背答案，而强化学习更像是让学生通过做题练习来提升能力。在GRPO框架下，AI模型需要尝试解决几何问题，然后根据答案的正确性获得奖励或惩罚，从而不断调整自己的解题策略。

这个训练过程的巧妙之处在于奖励函数的设计。对于不同类型的几何问题，研究团队设计了相应的评判标准。对于包含变量的数学表达式答案，他们使用MathVerify工具进行符号等价性检查，这样即使模型给出的答案形式与标准答案不同，只要在数学上等价就能获得奖励。

对于数值答案，研究团队避免了传统的平均相对准确度指标，而是采用了更严格的标准：只有当预测值与真实值的相对误差在1%以内时才给予奖励。这种设计是为了防止模型学会给出模糊的、不准确的答案。毕竟，在真实的几何应用中，精确性是至关重要的。

训练过程中，研究团队使用了两个主要的AI模型系列：Qwen2.5VL系列（包括3B、7B、72B参数版本）和RoboBrain2.0系列（包括7B、32B参数版本）。训练在64个NVIDIA H100 GPU上进行，每个问题生成8个候选答案，通过比较这些答案的质量来指导模型的学习方向。

整个训练过程就像一个循环改进的系统。模型首先尝试解决问题，然后根据反馈调整策略，再次尝试，如此反复。通过这种方式，模型逐渐学会了识别几何图形、理解空间关系、进行逻辑推理，以及进行精确计算等技能。

有趣的是，研究团队发现RoboBrain2.0系列模型在几何训练后的提升特别显著。这可能是因为这些模型原本就在大量视频和空间数据上进行过预训练，已经具备了一定的空间理解基础。几何训练相当于在这个基础上添加了更精确、更系统的空间推理能力。

四、实验验证：几何训练的神奇效果

为了验证几何训练的效果，研究团队在四个不同的空间智能测试基准上进行了全面评估。这些测试就像是AI空间智能的"期末考试"，涵盖了从基础的物体计数到复杂的三维空间推理等各个方面。

首先是VSI-Bench测试，这是一个包含5130个真实场景视频问答对的综合性空间智能评估基准。测试内容分为两大类：数值问题（如物体计数、绝对距离估算、物体大小估算、房间大小估算）和多选问题（如相对距离估算、相对方向推理、路径规划、时空出现顺序）。

在这个测试中，几何训练的效果非常明显。以RoboBrain2.0系列为例，7B参数的模型从43.0%提升到49.6%，32B参数的模型也从43.1%提升到49.6%。更令人惊喜的是，这个成绩超越了之前的最佳表现模型Spatial-MLLM（48.4%），甚至超过了一些大型商业模型如Gemini-1.5 Pro（48.8%）。

Qwen2.5VL系列的提升同样显著。特别值得注意的是72B参数的模型，从32.3%提升到37.5%，提升幅度达到5.2个百分点。这表明几何训练的效果在不同规模的模型上都能得到体现。

接下来是Super-CLEVR和Omni3D-Bench测试。Super-CLEVR包含5000个图像，专门测试AI在视觉复杂度、概念分布变化等方面的适应能力，主要评估二维空间推理能力。Omni3D-Bench则包含500个需要在三维空间中定位物体、估算相对距离和大小的问题。

在这两个测试中，几何训练同样显示出强大的效果。以Qwen2.5VL-7B为例，在Super-CLEVR上从76.1%提升到86.2%，在Omni3D-Bench上从28.3%提升到31.1%。RoboBrain2.0-7B的提升更为惊人，在Super-CLEVR上从47.4%跃升到85.2%，提升幅度达到37.8个百分点。

最后是MindCube测试，这是一个专门设计的空间心理建模基准，包含三种相机轨迹：旋转（相机固定位置但旋转观察）、环绕（相机围绕物体移动）、穿越（相机在物体间移动）。这个测试特别具有挑战性，因为它要求AI在部分观察和动态视角下进行空间推理。

在MindCube测试中，几何训练同样带来了显著提升。特别值得一提的是，经过几何训练的Qwen2.5VL-3B模型达到了38.9%的准确率，超越了专门为空间推理设计的Spatial-MLLM模型（32.1%）。这个结果特别有意义，因为Spatial-MLLM使用了专门的空间编码器，并在120K的空间数据上进行训练，而Euclid30K只有30K的几何问题。

为了进一步验证几何训练的独特价值，研究团队还进行了一个对比实验。他们使用相同大小的CLEVR-CoGenT数据集（一个专门的空间智能数据集）进行训练，然后与几何训练的效果进行比较。结果显示，虽然CLEVR-CoGenT训练也能带来一定提升，但几何训练的效果更为显著和全面。

这些实验结果清楚地表明，几何学习确实能够为AI模型提供广泛适用的空间智能基础。就像学会了基本的数学运算就能解决各种实际计算问题一样，掌握了几何推理能力的AI模型能够更好地处理各种空间相关的任务。

五、深入分析：为什么几何训练如此有效

通过详细分析实验结果，研究团队发现了几何训练效果显著的几个关键原因。这些发现不仅解释了为什么这种方法有效，也为未来的研究指明了方向。

首先，几何训练提供了系统性的空间知识框架。与针对特定任务的训练不同，几何学涵盖了空间智能的多个基本要素。当AI模型学习解决一个立体几何问题时，它需要同时掌握形状识别、空间关系推理、数值计算、逻辑演绎等多种技能。这种综合性训练比单一技能训练更能培养模型的通用能力。

其次，几何推理具有很强的可迁移性。几何学中的基本概念——如平行、垂直、相似、全等、比例等——在各种空间任务中都会反复出现。当模型学会了判断两条直线是否平行时，这个技能可以迁移到判断现实场景中的物体排列；当模型学会了计算三角形面积时，这种计算能力可以迁移到估算现实物体的大小。

研究团队还注意到，不同模型对几何训练的响应程度不同，这揭示了一个有趣的现象。RoboBrain2.0系列模型的提升特别显著，这可能与其原始训练数据有关。RoboBrain2.0原本在大量机器人任务和空间数据上进行预训练，可能已经学会了一些特定的模式，但这些模式在面对新的空间任务时可能会产生过拟合。几何训练相当于为这些模型提供了更通用、更基础的空间推理框架，帮助它们摆脱了过度专业化的束缚。

另一个重要发现是几何训练在不同类型任务上的效果差异。在大多数空间推理任务上，几何训练都带来了显著提升，但在某些特定任务上效果有限。例如，在时序相关的任务（如外观顺序判断）上，提升效果相对较小，有些情况下甚至出现轻微下降。

这种差异是可以理解的。几何学主要处理静态的空间关系，而时序任务需要记忆和理解时间维度的信息。几何训练虽然能提升空间推理能力，但对时间推理的帮助有限。这也提示研究者，要构建真正全面的空间智能，可能需要将几何训练与时序训练相结合。

研究团队还发现，几何训练的效果在不同难度的任务上表现不同。在一些基础的空间任务上，如物体计数和基本的距离判断，提升效果非常明显。而在一些需要复杂推理的高级任务上，虽然也有提升，但幅度相对较小。这表明几何训练主要强化了AI的基础空间感知能力，而高级的空间推理能力可能需要更专门的训练。

通过分析具体的错误案例，研究团队发现几何训练主要改善了模型在以下几个方面的表现：形状识别的准确性、空间关系判断的一致性、数值估算的精确性，以及多步推理的逻辑性。这些改善共同促成了模型在各种空间任务上的整体提升。

六、技术细节：训练过程的精妙设计

研究团队在训练过程中采用了许多精巧的技术细节，这些看似微小的设计决策实际上对最终效果产生了重要影响。

在强化学习的实现上，研究团队选择了GRPO而不是更传统的PPO算法。GRPO的优势在于它能够更好地处理组内比较，这对几何问题特别重要。当面对一个几何问题时，可能存在多种解法和多种表达答案的方式，GRPO能够更好地识别和奖励这些等价但形式不同的答案。

奖励函数的设计也体现了研究团队的深思熟虑。对于数学表达式答案，他们使用MathVerify进行符号等价性检查，这意味着"2πr"和"2r×π"会被认为是等价的。这种设计鼓励模型学习数学概念的本质，而不是死记硬背特定的表达形式。

对于数值答案，他们采用了1%的误差容忍度。这个看似严格的标准实际上在精确性和实用性之间找到了平衡。在几何问题中，答案通常需要相当精确，但考虑到浮点运算的精度限制和舍入误差，1%的容忍度是合理的。

训练数据的处理也很有讲究。研究团队将复杂的多部分问题拆分为独立的子问题，这样做的好处是让模型能够更专注地学习每个具体的推理步骤，而不会被复杂的问题结构所困扰。同时，LaTeX格式的标准化确保了答案的一致性和可验证性。

在模型选择上，研究团队同时使用了Qwen2.5VL和RoboBrain2.0两个系列，这种选择具有很好的互补性。Qwen2.5VL系列在语言理解方面较强，而RoboBrain2.0系列在空间感知方面有优势。在两种不同基础能力的模型上都验证了几何训练的效果，增强了结论的可信度。

训练过程中的超参数设置也经过了仔细调优。学习率设置为1×10^-6，这个相对较小的学习率确保了训练的稳定性，避免了过度调整导致的性能波动。权重衰减设置为1×10^-2，有助于防止过拟合。KL散度系数设置为1×10^-2，平衡了探索新解法和保持已学知识之间的关系。

批次大小和采样策略的设计也很关键。每个问题生成8个候选答案，这个数量在计算效率和答案多样性之间找到了平衡。通过比较多个候选答案的质量，模型能够学习到更鲁棒的解题策略。

七、实际应用：几何训练的广阔前景

这项研究的意义远远超出了学术范围，它为AI在现实世界中的应用开辟了新的可能性。几何训练提升的空间智能能力在许多实际应用场景中都有重要价值。

在机器人技术领域，空间智能是基础能力之一。家庭服务机器人需要理解房间布局、识别物体位置、规划移动路径。经过几何训练的AI模型能够更准确地判断物体之间的空间关系，更精确地估算距离和大小，这将显著提升机器人的导航和操作能力。

在自动驾驶领域，空间感知同样至关重要。车辆需要实时判断与其他车辆、行人、障碍物的相对位置和距离，预测它们的运动轨迹。几何训练培养的空间推理能力能够帮助自动驾驶系统做出更准确的判断，提高行车安全性。

在虚拟现实和增强现实应用中，AI需要理解三维空间结构，准确渲染虚拟对象，实现真实与虚拟的无缝融合。几何训练提升的空间理解能力将使这些应用更加逼真和流畅。

在教育领域，经过几何训练的AI可以成为更好的数学教学助手。它们能够更好地理解学生在几何问题上的困难，提供更精准的指导和解释。同时，这些AI系统也可以自动生成各种难度级别的几何练习题，为个性化教学提供支持。

在工程设计和建筑领域，AI需要理解复杂的三维结构，协助设计师进行空间规划和结构分析。几何训练培养的空间推理能力将使AI能够更好地辅助这些专业工作。

医学影像分析是另一个重要的应用领域。医生需要从CT、MRI等三维影像中识别病变位置、测量器官大小、理解解剖结构。经过几何训练的AI模型在这些任务上的表现将更加准确可靠。

游戏和娱乐产业也能从中受益。AI可以更好地理解游戏中的三维环境，为玩家提供更智能的导航提示，或者生成更合理的游戏关卡设计。

研究团队特别指出，这种几何训练方法的优势在于其通用性和高效性。相比于为每个特定应用专门收集和标注训练数据，几何训练提供了一种更经济、更通用的能力提升方案。一次几何训练就能在多个不同的空间智能任务上带来提升，这大大降低了AI系统开发的成本和复杂度。

说到底，这项研究揭示了一个深刻的道理：基础理论知识往往具有最广泛的适用性。就像掌握了基本的数学原理就能解决各种实际问题一样，让AI掌握几何学的基本原理，就能帮助它们更好地理解和操作我们生活的空间世界。这种"以不变应万变"的方法论，可能会成为未来AI能力提升的重要方向。

当然，研究团队也诚实地指出了这种方法的局限性。几何训练主要提升的是静态空间推理能力，对于涉及时间序列的动态空间任务，效果相对有限。同时，在一些需要特定领域知识的复杂空间任务上，仅仅依靠几何训练可能还不够，需要结合其他类型的训练数据。

这些发现为未来的研究指明了方向：如何将几何训练与时序学习相结合，如何在几何训练的基础上进一步添加领域特定的知识，如何设计更加全面的空间智能训练方案。这项研究虽然在几何训练的道路上迈出了重要一步，但空间智能这座大山还有更多的高峰等待攀登。

无论如何，这项研究已经为AI领域带来了一个重要启示：有时候，解决复杂问题的答案就藏在最基础的原理中。欧几里得在两千多年前建立的几何学体系，如今正在帮助现代AI系统获得更强大的空间理解能力。这种跨越时空的知识传承，本身就是一个令人感动的故事。有兴趣深入了解这项研究技术细节的读者，可以通过arXiv:2509.24473v2查询完整的研究论文。

Q&A

Q1：Euclid30K数据集包含什么内容？有什么特点？

A：Euclid30K是一个包含29695个几何问题的大型数据集，涵盖平面几何和立体几何两大类。数据来源包括开源数据集和新收集的K-12教科书内容，问题类型多样化，包括数学表达式题、数值计算题和多选题，覆盖了从初中到高中的完整几何课程体系。

Q2：为什么几何训练能提升AI的空间智能能力？

A：几何学本质上是对空间规律的系统性总结，包含了形状识别、空间关系、逻辑推理等空间智能的基本要素。当AI学习解决几何问题时，实际上是在内化这些空间规律。这些技能具有很强的可迁移性，能够帮助AI更好地处理各种现实世界的空间任务。

Q3：经过几何训练的AI模型在实际测试中表现如何？

A：实验结果显示，经过几何训练的AI模型在四个空间智能测试基准上都获得显著提升。在VSI-Bench测试中，模型平均准确率从34.5%提升到40.5%，其中RoboBrain2.0-Euclid-7B达到49.6%的准确率，超越了之前的最佳表现。在Super-CLEVR测试中，某些模型的提升幅度甚至达到37.8个百分点。